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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 b6 vUfqs#  
y=2H]LwIO,  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ]5ajw,A\]  
`0HzsF|pa  
　　1、三角函数本质： dx ?6dNpJ  
Reu ve*f  
　　三角函数的本质来源于定义  2*q 45R  
$QQRvUC  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 IGVk-yj  
C :<W8O  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 RRN17=q  
:g0oXB!L  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： E;0ZN?  
)BuXC>  
　　推导： DfAK B8I$  
f6E2S+ I  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ,>~zj-)%  
J~Xa:tvb[  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Tkr0Ql  
AC29rG.9-  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 7y"5JR 4  
64_z  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ^vx.*j  
P? XGs  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2）  ,k|-S  
M/q= ]  
　　[1] <2 l[ci  
vx!|^1/{J  
　　两角和公式 /.kU0B  
~yr(;8SZy1  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Y,X,t-I^|  
*g=95f8A W  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  oJ. aCMSD  
<G4z O>&<  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB gNu(o4&6  
 gDZE7B  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB [^u+=P:Qg  
jdOr,<e!  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) EyG& %5 2  
c(N`Ad%Y  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) `_+(^ot  
0'6[}   
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  H(Qk 1P*+  
VK5O k*Dh  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) bUmLOZ}$  
Qx(UI&Uj  
倍角公式 ]ltT#V)[(  
76P:(~VmD  
　　Sin2A=2SinA•CosA ;&=#9N~  
8E &t%`sDU  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 _DTd9-5  
#<#g&Wcx]  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） |BV&SW^;  
5wpoZ}$v+&  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Ji~q`ZqH  
0E;P$\  
三倍角公式 >e-Dm2}*  
&TgA)8!4  
　　 Z'LIW`6OJ  
PxPVq2'  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) -w{?E\qx  
,kN~t,A T/  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) y\@|i&m  
?oFcU^MgQ  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) wWp-PfBw6  
uCbG<[`Bh1  
三倍角公式推导 .`, WU  
G#E ugdl  
　　sin3a 2c^#r9}FJ  
}!W^j  
　　=sin(2a+a) g3&0k@A*57  
RLV c6i+J  
　　=sin2acosa+cos2asina *[FuluQ-B  
}~'n 6ht  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina V5_Dz @A  
684u9TS  
　　=3sina-4sin³a |J[Zw:.  
Rx0(#J@!)  
　　cos3a C+ -  
8&vG)@:!3  
　　=cos(2a+a) E3XrZ  
AuFy`D*H  
　　=cos2acosa-sin2asina \zfCv=cqF  
)&3<)@ Ow  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 4  c2I  
-enX0 .#Oe  
　　=4cos³a-3cosa so^-E  
g059M5kg  
　　sin3a=3sina-4sin³a ^1O2tkRK  
^0Mj&Q!F  
　　=4sina(3/4-sin²a) 28pu;6vV7d  
"~ lvEbg  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 1 (SSyq`  
pasf;JQ'  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ? uw]DN<   
'>eO Km~  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) +g2nbs7[B  
-'N H'3  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 1ABJ;uy  
^+gbd1<g  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) eC6_cOBk  
WRI9|W7  
　　cos3a=4cos³a-3cosa j= t0{KRX  
/P^!@{oT  
　　=4cosa(cos²a-3/4) H6 =pG\@  
2v 7PyxUj  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] q`/[Z57  
t= ,K+^J  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) t8. l`h4C\  
ew@dI!  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) b{n7k  
\sm.;7>4]  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} [};Px5  
z9I"b>d]X  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 4EpR%od  
fE;1WE.+`  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] LBM7YT"  
u]asD_  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] I^b? v"  
@ZCK<X*Z  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) _eQAH!  
#E 0?U  
　　上述两式相比可得 dM h5^-W  
YGtKaOy  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) \`tq+OMlMI  
J:?D0  
半角公式 -9\{`(h}F  
~cyz`a; 1  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 1+ >,~><s  
0`rm1L{  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. {3$~;}  
TGk/2?  
和差化积 Gy <?8q  
rob_Z,k`  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 5[4ty%W2%  
7yQN-}U  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 8*Rt p~  
qN$BV6_ig  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] "pg8W[d^}  
:&^s$#  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] CNC{Hr  
6qsZ6d3L6  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) TBXo5oO%  
:pqXm}w  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) %G s|n.  
Qu`O!MZMv  
积化和差 mRg9i~H/  
iP+d) z9  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 6lvUPh|UA  
_GT+7t~  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] :zXOUn@wE  
3IrV*F  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] SJ@p46 93  
_/[Jd63T  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 5\< tuzj  
H5?5X+<^9  
诱导公式 1o N q+  
.HBDg 6m;  
　　sin(-α) = -sinα ]-6[R7.)y  
7 B(S8c5sj  
　　cos(-α) = cosα 5vqhufWz@]  
%Gs^"H\ _  
　　sin(π/2-α) = cosα pTv^B^Y.  
T%r*B{%_%  
　　cos(π/2-α) = sinα wV; 6)P  
P43v q{v  
　　sin(π/2+α) = cosα +_.rES~X<  
vK_EL@  
　　cos(π/2+α) = -sinα NbBky,(  
pl|ibDa '  
　　sin(π-α) = sinα 025xO tl  
PLQ*K l  
　　cos(π-α) = -cosα Aheuz^6U  
r"*a=,y}~  
　　sin(π+α) = -sinα h!(Y5DYE  
yjnFH>sZ  
　　cos(π+α) = -cosα 7sF;W t?  
:J:1kFh  
　　tanA= sinA/cosA #T|VQH+7  
l`Awu%`c  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Q,2XZ)}  
!1H%*T(~  
　　tan（π/2－α）＝cotα Y- e$jxY  
^, 4,@2;  
　　tan（π－α）＝－tanα -A6 _9=  
vdeWtiG  
　　tan（π＋α）＝tanα )|Q8#m<  
`% c[0  
万能公式 s<.Q!  
`s?)RTLz?  
　　 dfw|"g#  
xg y+"rf  
其它公式 AqgITc]e  
c]h GZLS  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 12G2Jw2 Q  
H0KQaKCi  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 sJ%;%8 b{  
}{|>\trw~  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 %VAWqJ<"dS  
Q6u6 g G  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 \}RA3bC1!  
15Hf81  
　　对于任意非直角三角形,总有 r !5S~B  
Xbv<HpUC  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC t6&HC1Y  
yw.kE\(  
　　证: {ofM19G  
_n^*R>RQ)  
　　A+B=π-C VUuGfS2  
5<;jx(&k  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Szv%jN.  
Hrg]S%P+:  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) (vZ$X A:3  
=O3z8$O  
　　整理可得 I8g9cY{h H  
c\-I iB  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC jo? PI+l  
T]HEQVGCa?  
　　得证 a Q ;9VR  
k<$P`2R  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Gu+dwV`  
}W0bQ cWO  
其他非重点三角函数 Xkr~Y)K  
@?&n9A  
　　csc(a) = 1/sin(a) UM f3~Kz  
MY>R0#0  
　　sec(a) = 1/cos(a) Caf%_}X  
CQpEYq,'  
　　 lJzfc!Ib  
|"+n  
双曲函数 (b6nvt  
O:4?X  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 :\|tps.@I  
$[|] b}  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 7L.!@6E!$  
0_3}  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) b`X U/?4)  
GRS\zH  
　　公式一： r3zoA4,x0  
?U4 /(Dzx  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： I+EB6 *  
)_\2  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 7mV_N(?Od  
b"bm" 'c  
　　cos（2kπ＋α）= cosα l"LwC2$  
"6 dp4  
　　tan（kπ＋α）= tanα t "F!G\6b  
Ys $]$C,ik  
　　cot（kπ＋α）= cotα LcPpSF&8:  
BwxY/l0v  
　　公式二： ^os5Y~!)  
_4!aCQC,  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： dV$ vb  
XmB<U(g*  
　　sin（π＋α）= -sinα F(DdRij  
_!_ !Q-  
　　cos（π＋α）= -cosα `#23#u  
MazjE]x  
　　tan（π＋α）= tanα RxH :\&  
W)A"M~APKV  
　　cot（π＋α）= cotα GJuNb$sgyZ  
R,u0C"  
　　公式三： /f ggy  
L?`U 'D6  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： laJuLHcGv  
| ]}x+W   
　　sin（-α）= -sinα 5,=qZ;i  
"[6QGcgd7  
　　cos（-α）= cosα ~k&?w}5+e  
p7Ka8 ho  
　　tan（-α）= -tanα PE"^- iJ  
H@]RmQD@)  
　　cot（-α）= -cotα YXV9U%"  
eYrU2!  
　　公式四： T_c y]~OK  
J] zas$Ra  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： #RQbqwpV  
>3S]/#g/  
　　sin（π-α）= sinα ',3p;a\ .  
`g/)5f~m$  
　　cos（π-α）= -cosα *n[GJp  
H!C=@e tE  
　　tan（π-α）= -tanα 5^8dtbvF  
m|C%)_^=Uw  
　　cot（π-α）= -cotα K=-QAoP4  
<20)t5  
　　公式五： IO'BO7zSC;  
UZnmCg^`J  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： p7 XJz/#~P  
tcRq..7  
　　sin（2π-α）= -sinα =0& Q_" =8  
79bok 4  
　　cos（2π-α）= cosα Nl(fh  
oQghhM(MY  
　　tan（2π-α）= -tanα TqSr.NCp  
z.Jp-Pb  
　　cot（2π-α）= -cotα 8Eh5KA\i  
*cpPmn*/  
　　公式六： qu x[wA{b  
(qe0jC  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： T~iSC%?Zn  
iYv3 #<I  
　　sin（π/2+α）= cosα 7+Q ,\&9  
/(|$Q:at95  
　　cos（π/2+α）= -sinα j]2gzzdw  
V.]wmC  
　　tan（π/2+α）= -cotα j<m$t}e-^  
7RVNV"d7  
　　cot（π/2+α）= -tanα >-1"?  
i 8I]f  
　　sin（π/2-α）= cosα N<f>#[Z]2I  
?IKng{?  
　　cos（π/2-α）= sinα yx }z5%  
gGVP` qud  
　　tan（π/2-α）= cotα vAl e`}kD  
!_|ZqZ  
　　cot（π/2-α）= tanα 'wgdv+N  
@}yp V  
　　sin（3π/2+α）= -cosα | cLL'Jn8  
bpJ]Vf"'  
　　cos（3π/2+α）= sinα Iyj{cFaN  
V>c!@h  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 6*_izL  
+ 3D7 dl  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ^!+%s   
}q}LSAg/  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ce9>c*  
}iquJF  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ((VR{h5WF  
B`k\'U  
　　tan（3π/2-α）= cotα rpjaC#){  
Jl-c;Is  
　　cot（3π/2-α）= tanα {% vW+sJIE  
{GH_5gB(-  
　　(以上k∈Z) #PvZ+8*8s  
A98]Q` ?  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ^ghaApH  
JJ21Hs  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Vh#^-$mG  
5Q|HoMWC  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } g Y#U;:Sf  
;k8(cNu  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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